Всем привет
Продолжаю рубрику интересных задачек и их программного моделирования. Здесь задачка про вероятности и обычно она звучит, как задача про 100 приговоренных к казни.
В моем случае, я её люблю задавать студентам в начале семестра, чтобы пробудились и прогрели мозги… Поэтому в моём случае задача деформировалась в непутёвых студентов, которые прогуливали предмет целый семестр и преподаватель на экзамене предложил им сыграть в игру на зачёт.
Итак правила игры следующие, каждый студент имеет свой номер по списку у преподавателя на столе стоит 10 шкатулок на каждой снаружи написан номер и в каждую он в случайном порядке кладет по бумажке с номером от 1 до 10.
Каждый студент заходит по очереди и имеет право открыть 5 шкатулок, если он находит свой номер, то он выиграл и он выходит в другое помещение. Если все 10 человек выигрывают, тогда все получают зачёт, если хотя бы один проигрывает тогда все получают неуд.
Достаточно быстро прикинуть, что шансы у одного на выигрыш 1/2 или 50 на 50. Соответственно шансы 10 раз повторить удачу это 0,5 в 10 степени = 0,09765625%. Т.е. шансы у студентов очень слабые и надежды нет. Есть интересный способ, который позволяет студентов повысить свою удачу до сумасшедших 35%.
Если кто-то хочет подумать, решение чуть ниже…
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Итак решение задачи очень простое. Студенты договариваются и начинают открывать шкатулки или зачетки по номерам, если собственный номер студента 3 он открывает шкатулку номер 3, допустим там номер 7 он открывает 7 шкатулку. Вероятность нахождения такой цепочки длиной более 5 значительно меньше. Удивительно.
Далее расчет вероятностей:
Простейший вариант, если открывать случайным образом — (1/2)^10 = 0,0009765625 = 0,01%
Pr_win = 1 — Pr_chance of a chain longer than 5 — вероятность победы это 1 минус вероятность цепочки длиной более 5.
10! — всего способов раскладки 10 листков по 10 шкатулкам.
для цепочки длиной 6 шкатулок.
С_6^10 = 10! / 6!*(10-6)! — количество комбинаций шкатулок
(6-1)! = 5! — количество способов распределения листков в этих зачетках
(10-6)! = 4! — оставшиеся листочки будут распределены.
Т.е. 10! / ( 6! * 4! ) * 5! * 4! = 10! / 6 — всего перестановок
Значит вероятность цепочки 6 равно — 10! / 6 * 1 / 10! = 1 / 6
Pr_win = 1 — (1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10) = 35% !!!
А теперь моё самое любимое, давайте проверим, я написал небольшую программку модель. Создаем 10 шкатулок, раскладываем случайные номера внутри и берем 10 студентов легкомысленных ,так скажем, которые начали открывать совершенно случайным образом, а другие 10 сознательные студенты, которые открывают цепочками. И смотрим на результаты. Start knowingly — это сознательные студенты, Start random — это легкомысленные. После старта программа моделирует игру и фиксирует выигрыш или проигрыш группы, и так 1000 раз для knowingly или 10000 для Random после спрашивает продолжать или нет.
http://raskazhi.ru/wp-content/uploads/2022/02/10_bad_std_upg.html